filter (数学)
$ \forall X\forall\mathcal F\subseteq2^Xが以下を満たすとき、$ \mathcal Fを$ X上のfilterと呼ぶ
(F1)$ \mathcal F\neq\varnothing
$ X\in\mathcal Fに替えても同値
(F2)$ \varnothing\notin\mathcal F
$ \mathcal F\neq2^Xに替えても同値
$ \lang\bullet\rang_\bullet：拡張 (集合) (F3b)$ \lang\mathcal F\rang_X\subseteq\mathcal F⟨ℱ⟩X⊆ℱ 同値な定義
(F1) 同上
(F2) 同上
(F3) $ \forall F_1,F_2\in2^X:(F_1,F_2\in\mathcal F\iff F_1\cap F_2\in\mathcal F)
$ \forall X\forall\mathcal F,\mathcal G\in\mathscr F_X:(\mathcal F\subseteq\mathcal G\iff\mathcal F\subseteq\lang\mathcal G\rang_X)
proof
(L)⇒(R)
これはfilterに限らず成立する性質
$ \forall X\forall\mathcal F\subseteq2^X\forall\mathcal G:(\mathcal F\subseteq\mathcal G\implies\mathcal F\subseteq\lang\mathcal F\rang_X\subseteq\lang\mathcal G\rang_X)
$ \implies\forall X\forall\mathcal F\subseteq2^X\forall\mathcal G:(\mathcal F\subseteq\mathcal G\implies\mathcal F\subseteq\lang\mathcal G\rang_X)
$ \underline{\implies\forall X\forall\mathcal F,\mathcal G\in\mathscr F_X:(\mathcal F\subseteq\mathcal G\implies\mathcal F\subseteq\lang\mathcal G\rang_X)\quad}_\blacksquare
(R)⇒(L)
ここの記法使うのがいいかも
上方閉包$ \mathcal B^{\uparrow X}:=\lang\mathcal B\rang_X 下方閉包$ \mathcal B^\downarrow:=\bigcup_{B\in\mathcal B}2^B mesh:$ \mathcal A\#\mathcal B:\iff\forall A\in\mathcal A\forall B\in\mathcal B:A\cap B\neq\varnothing
性質
$ \forall X\forall\mathscr F'\subseteq\mathscr F_X:\bigcap\mathscr F'\in\mathscr F_X
比較
任意のfilter$ \mathcal F,\mathcal Gにて
$ \mathcal Fは$ \mathcal Gより粗い$ :\iff\mathcal F\subseteq\mathcal G
$ \mathcal Fは$ \mathcal Gより細かい$ :\iff\mathcal G\subseteq\mathcal F
例
任意の半順序集合$ (X,\le)と$ \forall F\in 2^X\setminus\{\varnothing,P\}が以下を満たすとき、$ Fを$ (X,\le)上のfilterと呼ぶ 1. $ \forall x,y\in F\exists z\in F:z\le x\land z\le y
2. $ \forall x\in F:\{p\in X|x\le p\}\subseteq F冪集合の単項filter 単項filterを使うと$ \forall x\in F:\uparrow x\subseteq Fとも書ける これ意味あるのかな？
$ \xcancel{\forall x,y\in F; \min(x,y)\le\min(x,y)\in F}だから自明じゃん
全順序律が不成立だと$ xと$ yを比較できないときがある $ X=2^\N,\le=\subseteqでイメージするとわかりやすい
$ \forall x,y\in F;\exists z\in F;z\subseteq x\land z\subseteq y
これは$ \forall x,y\in F;x\cap y\subseteq Fを表す
wikipediaに図解がある
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Upset.svg/600px-Upset.svg.png
交わらない集合は除外されている
関連
$ \forall p\in X:\uparrow p:=\{x\in X|p\le x\}
これって本当にfilterなの？
$ \forall x\in \uparrow p:\uparrow x\subseteq\uparrow pが成り立てばいいのだが
なんのために編み出した概念なのか
もともと位相幾何学でのなにかを解決するために作られたらしい？ References