filter (数学)

半順序集合の特別なやつらしい

定義

任意の半順序集合$ (P,\le)に対して、以下を満たす集合$ Fを($ (P,\le)の)filterと呼ぶ

$ F\neq\varnothing

$ F\subseteq P

$ \forall x,y\in F\exists z\in F;z\le x\land z\le y

これを「$ Fはfilter基」「$ Fは双対順序が有向集合」と同値らしい

これ意味あるのかな？

$ \xcancel{\forall x,y\in F; \min(x,y)\le\min(x,y)\in F}だから自明じゃん

全順序律が不成立だと$ xと$ yを比較できないときがある

$ P=2^\N,\le=\subseteqでイメージするとわかりやすい

$ \forall x,y\in F;\exists z\in F;z\subseteq x\land z\subseteq y

これは$ \forall x,y\in F;x\cap y\neq\varnothingを表す

wikipediaに図解がある

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Upset.svg/600px-Upset.svg.png

交わらない集合は除外されている

$ \forall x\in F;\{p\in P|x\le p\}\subseteq F

「$ Fは上方集合」と同値

単項filterを使うと$ \forall x\in F;\uparrow x\subseteq Fとも書ける

$ P\neq F

これを仮定しないこともある？

またこれを仮定した場合を特に「固有filter」または「真のfilter」と呼ぶらしい

$ \leは別な記号に変えたいな

$ (\R, \le)の$ \leと紛らわしい