filter (数学)
定義
任意の半順序集合$ (P,\le)と$ \forall F\in 2^Pが以下を満たすとき、$ Fを$ (P,\le)上のfilterと呼ぶ
1. $ F\neq\varnothing
2. $ F\subseteq P
3. $ \forall x,y\in F\exists z\in F;z\le x\land z\le y
これを「$ Fはfilter基」「$ Fは双対順序が有向集合」と同値らしい
これ意味あるのかな?
$ \xcancel{\forall x,y\in F; \min(x,y)\le\min(x,y)\in F}だから自明じゃん
全順序律が不成立だと$ xと$ yを比較できないときがある
$ P=2^\N,\le=\subseteqでイメージするとわかりやすい
$ \forall x,y\in F;\exists z\in F;z\subseteq x\land z\subseteq y
これは$ \forall x,y\in F;x\cap y\subseteq Fを表す
wikipediaに図解がある
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Upset.svg/600px-Upset.svg.png
交わらない集合は除外されている
4. $ \forall x\in F;\{p\in P|x\le p\}\subseteq F
「$ Fは上方集合」と同値
単項filterを使うと$ \forall x\in F;\uparrow x\subseteq Fとも書ける
5. $ P\neq F
これを仮定しないこともある?
またこれを仮定した場合を特に「固有filter」または「真のfilter」と呼ぶらしい
関連
単項filter
$ \forall p\in P;\uparrow p:=\{x\in P|p\le x\}
これって本当にfilterなの?
$ \forall x\in \uparrow p;\uparrow x\subseteq\uparrow pが成り立てばいいのだが
なんのために編み出した概念なのか
もともと位相幾何学でのなにかを解決するために作られたらしい?
その後超準解析やアローの不可能性定理でも使われるようになった?
References
https://ja.wikipedia.org/wiki/フィルター_(数学)
#2025-01-29 17:13:42
#2025-01-17 15:56:42
#2022-04-10 08:38:48