filter (数学)

定義

任意の半順序集合$ (P,\le)と$ \forall F\in 2^Pが以下を満たすとき、$ Fを$ (P,\le)上のfilterと呼ぶ

1. $ F\neq\varnothing

2. $ F\subseteq P

3. $ \forall x,y\in F\exists z\in F;z\le x\land z\le y

これを「$ Fはfilter基」「$ Fは双対順序が有向集合」と同値らしい

これ意味あるのかな？

$ \xcancel{\forall x,y\in F; \min(x,y)\le\min(x,y)\in F}だから自明じゃん

全順序律が不成立だと$ xと$ yを比較できないときがある

$ P=2^\N,\le=\subseteqでイメージするとわかりやすい

$ \forall x,y\in F;\exists z\in F;z\subseteq x\land z\subseteq y

これは$ \forall x,y\in F;x\cap y\subseteq Fを表す

wikipediaに図解がある

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Upset.svg/600px-Upset.svg.png

交わらない集合は除外されている

4. $ \forall x\in F;\{p\in P|x\le p\}\subseteq F

「$ Fは上方集合」と同値

単項filterを使うと$ \forall x\in F;\uparrow x\subseteq Fとも書ける

5. $ P\neq F

これを仮定しないこともある？

またこれを仮定した場合を特に「固有filter」または「真のfilter」と呼ぶらしい