filter (数学)

定義

任意の半順序集合$ (X,\le)と$ \forall F\in 2^X\setminus\{\varnothing,P\}が以下を満たすとき、$ Fを$ (X,\le)上のfilterと呼ぶ

1. $ \forall x,y\in F\exists z\in F:z\le x\land z\le y

2. $ \forall x\in F:\{p\in X|x\le p\}\subseteq F

「$ Fは上方集合」と同値

単項filterを使うと$ \forall x\in F:\uparrow x\subseteq Fとも書ける

$ F\neq Xのとき特に「固有filter」または「真のfilter」と呼ぶらしい

1.まで満たしたものをfilter基とよぶ

集合論におけるfilter基の定義と若干違うのが気になる

1は「$ Fはfilter基」「$ Fは双対順序が有向集合」と同値らしい

これ意味あるのかな？

$ \xcancel{\forall x,y\in F; \min(x,y)\le\min(x,y)\in F}だから自明じゃん

全順序律が不成立だと$ xと$ yを比較できないときがある

$ X=2^\N,\le=\subseteqでイメージするとわかりやすい

$ \forall x,y\in F;\exists z\in F;z\subseteq x\land z\subseteq y

これは$ \forall x,y\in F;x\cap y\subseteq Fを表す

wikipediaに図解がある

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Upset.svg/600px-Upset.svg.png

交わらない集合は除外されている